¿Carga en una carcasa esférica conductora?

Respuesta

Superficie interior: #quad sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#
Superficie exterior:#quad sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#

Explicación:

Desde que el campo electrico necesariamente debe desaparecer dentro del volumen de la esfera conductora, las cargas deben derivar de tal manera que se cancele el campo eléctrico debido a la carga #q# en el centro.

Superficie interior: Considere una esfera imaginaria que encierra la superficie interna del radio #a#, acostado justo fuera de esta superficie y dentro del volumen de la esfera conductora. Por Ley de Gauss El flujo eléctrico a través de esta superficie está relacionado con el carga total encerrado por esta superficie,

Por la ley de Gauss, #Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0#
dónde #q# es el cargo en el centro y #q_a# es la carga inducida total en la superficie interna.

Dado que el campo eléctrico se desvanece en todas partes dentro del volumen de un buen conductor, su valor es cero en todas partes en la superficie gaussiana que hemos considerado. Entonces la integral de la superficie es cero.

#Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0 = 0; qquad rightarrow q_a = -q# ...... (1)
Esta es la carga total inducida en la superficie interna. Debido a que el campo eléctrico del centro; la carga es esféricamente simétrica, esta carga inducida también debe distribuirse uniformemente.

Entonces la densidad de carga en la esfera interna es: #sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#

Superficie exterior: La carga neta en la superficie exterior tiene dos componentes: carga gratuita #q_b^{"free"} = Q# y carga inducida #q_b^{"ind"}#

#q_b = q_b^{"ind"} + q_b^{"free"} = q_b^{"ind"}+Q#

Debido a que las cargas inducidas son el resultado de la polarización debido al campo eléctrico de la carga central, la carga inducida neta en el superficies internas y externas del buen conductor debe ser cero:

#q_a + q_b^{"ind"} = 0; qquad q_b^{"ind"} = -q_a#

Escritura #q_a# en términos de #q# usando (1), #quad q_b^{"ind"} = -q_a = q#

Por lo tanto, la carga total en la superficie externa es: #q_b = Q + q#

Entonces la densidad de carga en la esfera externa es: #sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#


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