¿Cómo calculo el ángulo entre dos vectores?

Puede usar el producto punto para resolver este problema. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

El producto punto es una operación en dos vectores. Hay dos definiciones diferentes de producto punto. Dejar #vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]# ser un vector y #vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]# ser otro vector, entonces tenemos fórmulas 2 para producto punto:

1) Definición algebraica:

#vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n#

2) Definición geométrica:

#vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

dónde #theta# es el ángulo entre #vec(A)# y #vec(B)# y #||vec(A)||# denota la magnitud de #vec(A)# y tiene la fórmula:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)#

Podemos resolver muchas preguntas (como el ángulo entre dos vectores) combinando las dos definiciones:

#sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

or

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)#

Si tenemos dos vectores, entonces el único desconocido es #theta# en la ecuación anterior, y así podemos resolver #theta#, que es el ángulo entre los dos vectores.

Ejemplo:

Q: dado #vec(A) = [2, 5, 1]#, #vec(B) = [9, -3, 6]#, encuentra el ángulo entre ellos.

A:
De la pregunta, vemos que cada vector tiene tres dimensiones. Desde arriba, nuestra fórmula se convierte en:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)#

Lado izquierdo:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9#

Lado derecho:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)#
#||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)#
#theta# es desconocido

Conecte todo a la fórmula, obtenemos:

#9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)#

Resolver #theta#:

#cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))#
#theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))#

Usando una calculadora, obtenemos:

#theta = 81.58# grados

Vea el siguiente video de ...

Ejemplo de ángulo entre vectores


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