¿Cómo encontrar el momento de inercia de un cilindro sólido sobre el eje transversal (perpendicular) que pasa por su centro?

Tiene que hacerse en tres pasos.
1 Declarando Momento de inercia de un disco infinitesimalmente delgado.
2 Aplicación de teoremas de eje perpendicular y eje paralelo.
3 Integración sobre la longitud del cilindro.
Pero antes que nada, expongamos el problema.

Explicación:

Figura 1.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
Consideremos un cilindro de longitud #L#, Masa #M#y radio #R# colocado de modo que #z# eje está a lo largo de su eje central como en la figura.
Sabemos que su densidad #rho="Mass"/"Volume"=M/V#.

Figura 2.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

Consideremos que el cilindro está formado por discos infinitamente delgados, cada uno de espesor #dz#. Si #dm# es la masa de uno de esos discos, entonces
#dm=rho times "Volume of disk"#

or #dm=M/V times (pi R^2.dz)#,
desde #V="Areal of circular face"xx"length"=pi R^2L#, obtenemos
#dm=M/(pi R^2L) times (pi R^2.dz)#

or #dm=M/Ldz# ...... (1)
Paso 1:.

Conocemos ese momento de inercia de un disco circular de masa #m# y de radio #R# sobre su eje central es igual que para un cilindro de masa #M# y radio #R# y viene dada por la ecuación
#I_z=1/2mR^2#. En nuestro caso

#dI_z=1/2dmR^2#...... (2)
Paso 2:.

Observe en la figura 2, que este momento de inercia se ha calculado sobre #z# eje. En el problema, debemos encontrar el momento de inercia sobre el eje transversal (perpendicular) que pasa por su centro. Sabiendo que el eje de rotación deseado es transversal, por lo tanto, debemos aplicar el teorema del eje perpendicular que establece:

El momento de inercia sobre un eje que es perpendicular al plano contenido por los dos ejes restantes es la suma de los momentos de inercia sobre estos dos ejes perpendiculares, a través del mismo punto en el plano del objeto.
Resulta que
#dI_z=dI_x+dI_y# ..... (3)
También por simetría vemos ese momento de inercia sobre #x# eje debe ser el mismo que el momento de inercia sobre #y# eje.
#:. dI_x=dI_y# ...... (4)
Combinando las ecuaciones (3) y (4) obtenemos
#dI_x=(dI_z)/2#Sustituyendo #I_z# de (2), obtenemos
#dI_x=1/2xx1/2dmR^2#

or #dI_x=1/4dmR^2#

Deje que el disco infinitesimal se ubique a distancia #z# del origen que coincide con el centro de masa.

Ahora hacemos uso del teorema del eje paralelo sobre el #x# eje que establece:

El momento de inercia sobre cualquier eje paralelo a ese eje a través del centro de masa está dado por

#I_"Parallel axis"=I_"Center of Mass"+"Mass"times"d^2#
dónde #d# es la distancia del eje paralelo desde el centro de masa.
#dI_x=1/4dmR^2+dmz^2# ...... (5)
Paso 3:.
Insertar el valor de #dm# calculado en (1) en la ecuación de momento de inercia (5) para expresarlo en términos de #z# luego integre sobre la longitud del cilindro del valor de #z=-L/2# a #z=+L/2#
#I_x=int_(-L/2)^(+L/2)dI_x=int_(-L/2)^(+L/2)1/4M/LdzR^2+int_(-L/2)^(+L/2)z^2 M/Ldz#
#I_x=1/4M/LR^2z+M/L z^3/3]_(-L/2)^(+L/2)#,
ignorando la constante de integración por ser definitivamente integral.

#I_x=1/4M/LR^2[L/2-(-L/2)]+M/(3L) [(L/2)^3-(-L/2)^3]#

or #I_x=1/4M/LR^2L+M/(3L) (2L^3)/2^3 #

or #I_x=1/4MR^2+1/12M L^2 #


Deja un comentario