¿Cómo encontrar una representación de serie de potencia para # (arctan (x)) / (x) # y cuál es el radio de convergencia?

Respuesta

Integrar la serie de potencias de la derivada de #arctan(x)# luego dividir por #x#.

Explicación:

Conocemos la representación de series de potencias de #1/(1-x) = sum_nx^n AAx# tal que #absx < 1#. Tan #1/(1+x^2) = (arctan(x))' = sum_n (-1)^nx^(2n)#.

Entonces la serie de poder de #arctan(x)# is #intsum_n (-1)^nx^(2n)dx = sum_n int(-1)^nx^(2n)dx = sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)#.

Lo divides por #x#, descubres que la serie de poder de #arctan(x)/x# is #sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#. Digamos #u_n = ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#

Para encontrar el radio de convergencia de esta serie de potencia, evaluamos #lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n#.

#(u_(n+1))/u_n = (-1)^(n+1)*x^(2n+2)/(2n+3)(2n+1)/((-1)^nx^(2n)) = -(2n+1)/(2n+3)x^2#.

#lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n) = abs(x^2)#. Entonces, si queremos que la serie de potencia converja, necesitamos #abs(x^2) = absx^2 < 1#, entonces la serie convergerá si #absx <1#, lo cual no es sorprendente ya que es el radio de convergencia de la representación de la serie de potencias de #arctan(x)#.


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