¿Cómo encuentra el intervalo de convergencia para una serie de potencia?

El intervalo de convergencia de una serie de potencia es el conjunto de todos los valores de x para los que converge la serie de potencia.

Encontremos el intervalo de convergencia de #sum_{n=0}^infty{x^n}/n#.
Por prueba de relación,
#lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}#
#=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1#,
lo que significa que la serie de potencia converge al menos en #(-1,1)#.

Ahora, necesitamos verificar su convergencia en los puntos finales: #x=-1# y #x=1#.

If #x=-1#, la serie de potencia se convierte en la alterna serie armónica
#sum_{n=0}^infty(-1)^n/n#,
que es convergente Asi que, #x=1# debe ser incluido

If #x=1#, la serie de poder se convierte en el serie armónica
#sum_{n=0}^infty1/n#,
que es divergente Entonces, #x=1# debe ser excluido

Por lo tanto, el intervalo de convergencia es #[-1,1)#.


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