¿Cómo encuentra el modelo exponencial #y = ae ^ (bx) # que se ajusta a los dos puntos (0, 8), (1, 3)?

Es bueno que nos den el punto, #(0,8),# porque nos permite encontrar el valor de #a# antes de encontrar el valor de b:

Sustituir el punto #(0,8)# dentro #y=ae^(bx)#:

#8=ae^(b(0))#

Cualquier número elevado a la potencia cero es 1:

#8 = a(1)#

#a = 8#

Usa el punto, #(1,3),# para encontrar el valor de b:

#3 = 8e^(b(1))#

#e^b= 3/8#

#b = ln(3/8)#

La ecuación final es:

#y = 8e^(ln(3/8)x)#

A menudo, se pregunta el mismo problema donde la coordenada x de uno de los puntos no es 0. Cuando esto sucede, debe encontrar el valor de #b# antes de encontrar el valor de #a#; así es como lo haces:

Dado, dos puntos, #(x_1,y_1)# y #(x_2,y_2)# y #y= ae^(bx)#

Escriba dos ecuaciones sustituyendo cada punto en la ecuación dada:

#y_1=ae^(bx_1)" [1]"#

#y_2=ae^(bx_2)" [2]"#

Divida la ecuación [2] por la ecuación [1]:

#y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))#

Por favor observe que #a# se elimina porque se cancela por división:

#y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))#

Cuando divide dos números con la misma base, es lo mismo que restar los exponentes:

#y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)#

Voltea la ecuación y usa el logaritmo natural en ambos lados:

#ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)#

Porque #ln# y #e# son inversas solo queda el exponente a la izquierda:

#bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)#

Factorizar #b#:

#b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)#

Divide ambos lados entre #(x_2-x_1)#:

#b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)#

Ahora que tienes el valor de #b#, puede sustituir su valor en la ecuación [1] o la ecuación [2] para resolver el valor de #a#.


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