¿Cómo encuentra el polinomio de Taylor de tercer grado para #f (x) = ln x #, centrado en a = 2?

Respuesta

#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.

Explicación:

La forma general de una expansión de Taylor centrada en #a# de una función analítica #f# is #f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#. aquí #f^((n))# es la enésima derivada de #f#.

El polinomio de Taylor de tercer grado es un polinomio que consta de los primeros cuatro (#n# que van desde #0# a #3#) términos de la expansión completa de Taylor.

Por lo tanto este polinomio es #f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/2(x-a)^2+(f'''(a))/6(x-a)^3#.

#f(x)=ln(x)#, por lo tanto #f'(x)=1/x#, #f''(x)=-1/x^2#, #f'''(x)=2/x^3#. Entonces el polinomio de Taylor de tercer grado es:
#ln(a)+1/a(x-a)-1/(2a^2)(x-a)^2+1/(3a^3)(x-a)^3#.

Ahora tenemos #a=2#, entonces tenemos el polinomio:
#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.


Deja un comentario