¿Cómo encuentra el vector normal de la unidad principal de la curva en el valor especificado del parámetro #r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k # donde t es pi?

Esto es realmente un problema de cálculo, y el vector normal de la unidad principal no es lo mismo que un vector normal en el plano en el que se encuentra la curva.

El vector de velocidad es #\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=-3sin(3t)\hat{i}+6cos(3t)\hat{j}# y su longitud (la velocidad) es #||\vec{v}(t)||=\sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}#.

Esto significa que el vector tangente unitario es #\vec{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{||\vec{v}(t)||}=\frac{-3sin(3t)\hat{i}+6cos(3t)\hat{j}}{\sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}}#. A #t=\pi#, esto se convierte #\vec{T}(\pi)=-\hat{j}#.

La curva se encuentra en el plano #z=1#, entonces el vector normal de la unidad principal #\vec{N}(\pi)# estará en el mismo plano (y el mismo plano que #\vec{T}(\pi)#), será perpendicular a #\vec{N}(\pi)#, y apuntará directamente hacia el centro de curvatura, que en este caso es el centro #(0,0,1)# de la elipse que la curva está trazando en el plano #z=1#. También tenga en cuenta que #r(\pi)=-\hat{i}+\hat{k}# (la curva está en el punto #(-1,0,1)# at #t=\pi#).

Por lo tanto, el vector normal de la unidad principal será #\vec{N}(\pi)=\hat{i}#.

Aquí hay una foto de la situación. Lo positivo #x#-eje está viniendo hacia ti y lo positivo #y#-eje va hacia la derecha. El punto #(-1,0,1)# se muestra junto con el vector normal de la unidad #\vec{N}(\pi)=\hat{i}#. De nuevo, no es normal en el avión. Es normal a la curva y se encuentra en el mismo plano que el "círculo de osculación" o el "círculo de mejor ajuste" en el punto dado (no mostrado), que se encuentra en el plano #z=1#.

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