¿Cómo encuentra la antiderivada más general de la función para #f (x) = x - 7 #?

Respuesta

#x^2/2-7x+C#

Explicación:

La antiderivada general de #f(x)# is #F(x)+C#, Donde #F# Es una función diferenciable. Todo lo que significa es que si diferencia la antiderivada, obtiene la función original, por lo que para encontrar la antiderivada, invierte el proceso de encontrar una derivada.

¿Suena confuso? Más fácil de hacer que dicho. Lo que estamos haciendo es solo tomar la integral indefinida de #f(x)# - en otras palabras, #int x-7 dx#. Las propiedades de las integrales dicen que podemos dividirlo en pedazos en casos de suma y resta; así,

#intx-7dx = intxdx-int7dx#.

Además de usar las propiedades de las integrales,

#intx-7dx = intxdx-7intdx#

Primero, hagamos #intxdx#. Lo que nos preguntamos es: qué función, cuando tomas su derivada, es igual #x#? Bien, #x^2/2#, ¡por supuesto! Utilizando la regla de poder, multiplicamos la expresión por el exponente y luego reducimos el exponente por uno; haciendo eso da #2*(x^(2-1))/2 = x#. Entonces, nuestra primera integral se reduce a #x^2/2+C#.

Ahora, porque el #C#? Ponemos el #C# (que es solo una constante, cualquier número antiguo, como #2#, #sqrt(5)# y #pi#) porque estamos encontrando la antiderivada general. Por lo tanto, no sabemos si hay otro número oculto en nuestra antiderivada, por lo que colocamos el #C# para hacerlo general y cubrir nuestros traseros.

Finalmente evaluamos #7intdx#. Esta (#intdx#) se llama integral perfecta porque su resultado es simplemente ol ' #x#. Ya que tenemos un #7# delante de él, nuestro resultado final es #7x+C# (nunca olvides el #C#!).

Finalmente podemos juntar nuestras piezas para la respuesta final:

#intx-7dx = intxdx-int7dx#
#intx-7dx = (x^2/2 + C) - (7x + C#)
# = x^2/2 + C - 7x - C# (distribuyendo el signo negativo)

Tú puedes pensar #C-C = 0#, pero eso no está del todo bien. Recordar que #C# is cualquier número - los dos. Así que uno #C# puede ser #4# y el otro puede ser #3#, en ese caso #C-C = 1# or #-1#. Pero entonces de nuevo, #1# y #-1# son constantes, ¿verdad? De hecho, #C-C# siempre será una constante, y desde #C# representa una constante, solo podemos llamar #C-C# normal #C#. Toma mi palabra por ello.

Por lo tanto, el resultado final es #x^2/2-7x+C#.

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