¿Cómo encuentra la derivada de la función utilizando la definición de derivada #g (t) = 7 / sqrt (t) #?

Respuesta

El paso clave es racionalizar un numerador.

Explicación:

#g(t) = 7/sqrtt#

Asumiré que puedes usar la definición:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

(Hay otras formas de expresar la definición de derivada, pero esta es una muy común).

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

#= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h#

#= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h#

#= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)#

Tenga en cuenta que, si intentamos evaluar por sustitución, obtenemos la forma indeterminada #0/0#.
Lo que hay que probar aquí (funcionará) es racionalizar el numerador utilizando el conjugado de #sqrtt-sqrt(t+h)#.

Es decir: multiplicaremos por #1#, en la forma: #(sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))#

Reanudamos:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h))) #

# =lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

# =lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

Ahora podemos evaluar el límite:

#g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))#

# = (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)#

Nota
Puede ser útil observar que, en cierto sentido, hemos cambiado la resta: #sqrtt-sqrt(t+h)# en el numerador para una adición: #sqrtt+sqrt(t+h)# en el denominador
La resta va a #0#, la adición no.
En el proceso, pudimos eliminar el factor de #h# tanto del numerador como del denominador.


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