¿Cómo encuentra la serie Taylor para #ln (x) # sobre el valor x = 1?

Primero, miramos la fórmula de la serie Taylor, que es:

#f(x) = sum_(n=0)^oo f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n #

que es igual a:

#f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)(x-a)^2)/(2!) + (f'''(a)(x-a)^3)/(3!) + ... #

Entonces te gustaría resolver #f(x) = ln(x)# at #x=1# que supongo significa centrado en #1# de los cuales harías #a=1#

Resolver:

#f(x) = ln(x)# y #f(1) = ln(1) = 0#

#f'(x) = 1/x# y #f'(1) = 1/1 = 1#

#f''(x) = -1/x^2# y #f''(1) = -1/(1)^2 = -1#

#f^((3))(x) = 2/x^3# y #f^((3))(1) = 2/(1)^3 = 2#

#f^((4))(x) = -((2)(3))/x^4# y #f^((4))(1) = -((2)(3))/(1)^4 = -(2)(3)#

Donde ahora ya podemos comenzar a ver cómo se forma un patrón, entonces comenzamos a usar nuestra fórmula (2):

#0 + 1(x-1) - (1(x-1)^2)/(2!) + (2(x-1)^3)/(3!) - ((2)(3)(x-1)^4)/(4!) .....#

y ahora intenta ver cómo podemos escribir esto como una serie, que obtenemos: (comenzamos será n = 1 ya que nuestro primer término es 0)

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (((n-1)!)(x-1)^n)/(n!) #

Que luego puede simplificarse a:

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (x-1)^n/n#


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