¿Cómo encuentra las ecuaciones de ambas líneas a través del punto (2, -3) que son tangentes a la parábola # y = x ^ 2 + x #?

Las ecuaciones de las tangentes que pasan #(2,-3)# son:

# y=-x-1 # y
#y = 11x-25#

Explicación:

El gradiente de la tangente a una curva en cualquier punto particular viene dado por la derivada de la curva en ese punto. Entonces, para nuestra curva (la parábola) tenemos

# y=x^2+x #

Wrt diferenciador #x# obtenemos:

# dy/dx=2x+1 #

Dejar #P(alpha,beta)# ser cualquier punto genérico en la curva. Entonces el gradiente de la tangente en P viene dado por:

# m = 2alpha + 1 \ \ \ # (using the derivative)

Y como P yace en la curva, también tenemos:

# beta = alpha^2+alpha \ \ \ # (using the curve equation)

Y entonces la tangente en #P# atravesar #(alpha,alpha^2+alpha)# y tiene gradiente #2alpha + 1#, entonces usando la forma de punto / pendiente #y−y_1=m(x−x_1)# la ecuación de la tangente en #P# es;

#y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)#

si esta tangente también pasa #(2,-3)# luego;

# \ \-3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)#
# :. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2#
# :. alpha^2 -4alpha-5=0#
# :. (alpha-5)(alpha+1)=0#
# :. alpha =-1,5#

If #alpha =-1 => beta = 0 #, y la ecuación tangente se convierte en:

#y - 0 = (-1)(x+1)#
# :. \ \ y=-x-1 #

If #alpha =5 => beta = 30#, y la ecuación tangente se convierte en:

# \ \ \ \ \ y - 30 = (11)(x-5)#
# :. y - 30 = 11x-55#
# :. \ \ \ \ \ \ \ \ \y = 11x-25#

De ahí las ecuaciones de las tangentes que pasan #(2,-3)# estamos
# y=-x-1 # y #y = 11x-25#

Podemos confirmar esto gráficamente:
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