¿Cómo encuentra las ecuaciones para el plano tangente a la superficie # x ^ 2 + 2z ^ 2 = y ^ 2 # a # (1, 3, -2) #?

# :. x-3y-4z = 0 #

Explicación:

Primero reorganizamos la ecuación de la superficie en la forma # f(x,y,z)=0#

# x^2+2z^2 = y^2 #
# :. x^2 - y^2 + 2z^2 = 0 #

Y así tenemos nuestra función:

# f(x,y,z) = x^2 - y^2 + 2z^2 #

Para encontrar la normalidad en cualquier punto particular del espacio vectorial, utilizamos el operador Del, o gradiente:

# grad f(x,y,z) = (partial f)/(partial x) hat(i) + (partial f)/(partial y) hat(j) + (partial f)/(partial z) hat(k) #

recuerde al diferenciar parcialmente que diferenciamos wrt la variable en cuestión mientras tratamos las otras variables como constantes. Y entonces:

# grad f = ((partial)/(partial x) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(i) + #
# " " ((partial)/(partial y) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(j) + #
# " " ((partial)/(partial z) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(k) #
# " "= 2xhat(i) - 2yhat(j) + 4zhat(k) #

Entonces para el punto particular #(1,3,-2)# El vector normal a la superficie viene dado por:

# grad f(1,3,-2) = 2hat(i) -6hat(j) -8hat(k) #

Entonces el plano tangente a la superficie # x^2+2z^2 = y^2 # tiene este vector normal y también pasa por el punto #(1,3,-2)#. Por lo tanto, tendrá una ecuación vectorial de la forma:

# vec r * vec n = vec a * vec n #

Dónde #vec r=((x),(y),(z))#; #vec n=( (2), (-6), (-8) )#, es el vector normal y #a# es cualquier punto en el avión

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente es:

# ((x),(y),(z)) * ( (2), (-6),(-8) ) = ((1),(3),(-2)) * ( (2), (-6),(-8) ) #
# :. (x)(2) + (y)(-6) + (z)(-2) = (1)(2) + (3)(-6) + (-2)(-8) #
# :. 2x-6y-8z = 2-18+16 #
# :. 2x-6y-8z = 0 #
# :. x-3y-4z = 0 #

Podemos confirmar esto gráficamente: Aquí está la superficie con el vector normal:
ingrese la fuente de la imagen aquí

y aquí está la superficie con el plano tangente y el vector normal:
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