¿Cómo encuentras la raíz cuadrada de # 13 #?

Respuesta

Use un método de Newton Raphson para encontrar:

#sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547#

Explicación:

Desde que #13# es un número primo, no hay una forma más simple para su raíz cuadrada. #sqrt(13)# es un número irracional en algún lugar entre #3 = sqrt(9)# y #4 = sqrt(16)#.

Interpolando linealmente, una primera aproximación razonable sería:

#sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5#

Podemos obtener mejores aproximaciones de nuestra inicial (llámalo #a_0#) utilizando un método de Newton Raphson.

Una fórmula típica utilizada para derivar una aproximación más precisa para #sqrt(n)# sería:

#a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)#

Prefiero separar #a_i# en numerador #p_i# y denominador #q_i#. Tan #a_i = p_i/q_i# y podemos iterar usando las fórmulas:

#{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}#

En nuestro ejemplo, #n = 13#, #p_0 = 18#, #q_0 = 5# y encontramos:

#{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}#

Si paramos aquí nuestra aproximación sería:

#sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)#

Probemos una iteración más:

#{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}#

Parando aquí, tenemos:

#sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547#

Usando una calculadora:

#sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311#


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