¿Cómo encuentras un número positivo tal que la suma del número y su recíproco sea lo más pequeño posible?

Respuesta

La suma más pequeña de un número. #n# y su recíproco #1/n# is #2# que ocurre cuando #n = 1#. Cualquier otro valor de #n# producirá una suma mayor.

Explicación:

Consideremos un número positivo #n#, asegurándose #n ne 0# para que no tengamos un recíproco indefinido.

Queremos encontrar un #1/n# tal que #n + 1/n# se minimiza Podemos llamar a esta suma una función #f(n) = n + 1/n#.

Ahora tomamos la derivada de #f(n)# wrt #n# y ponerlo a cero para obtener el mínimo.

#f'(n) = 1 -1/n^2#

#1 - 1/n^2 = 0#
#1 = 1/n^2#
#n^2 = 1#
#n = +- 1#

Sin embargo, rechazamos el valor negativo como #n > 0#. Por lo tanto, #n = 1#.

Entonces la suma mínima obtenible es #f(1) = 1+ 1/1 = 2#

Por lo tanto, la suma más pequeña de un número #n# y su recíproco #1/n# es 2 cuando #n = 1#. Cualquier otro valor de #n# producirá una suma mayor.


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