¿Cómo encuentras una expresión para #sin (x) # en términos de # e ^ (ix) # y # e ^ (ix) #?

Respuesta

#sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)#

Explicación:

Comience desde la serie MacLaurin de la función exponencial:

#e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Sun:

#e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) #

Separe ahora los términos para #n# incluso y #n# extraño, y dejar #n=2k# en el primer caso, #n= 2k+1# en el segundo:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo i^(2k) x^(2k)/((2k)!) + sum_(k=0)^oo i^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!) #

Tenga en cuenta ahora que:

#i^(2k) = (i^2)^k = (-1)^k#

#i^(2k+1) = i*i^(2k) = i*(-1)^k#

Sun:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k)/((2k)!) + isum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) #

y podemos reconocer las expansiones de MacLaurin de #cosx# y #sinx#:

#e^(ix) = cosx +i sinx#

cual es la formula de Euler.

Teniendo en cuenta que #cosx# es una función par y #sinx# y función impar entonces tenemos:

#e^(-ix) = cos(-x) + i sin(-x) = cosx-i sinx#

entonces:

#e^(ix) - e^(-ix) = 2i sinx#

y finalmente:

#sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)#


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