¿Cómo encuentro la ecuación cartesiana de un plano que contiene tres puntos dados?

La ecuación cartesiana de un avión. #P# is #ax + by + cz + d = 0#, Donde #a, b, c# son las coordenadas del vector normal #vec n = ( (a), (b), (c) ) #

Dejar #A, B and C# ser tres puntos no colineales, #A, B, C in P#
Tenga en cuenta que #A, B and C# define dos vectores #vec (AB)# y #vec (AC)# contenido en el avión #P#. Sabemos que el producto cruzado de dos vectores contenidos en un plano define el vector normal del plano.

Ahora, podemos usar un ejemplo para ilustrar la solución. Suponga que las coordenadas de los tres puntos son las siguientes:
#A(1,2,3), B(-2,1,0)# y #C(0,3,2)#

De las coordenadas de los puntos. #A, B# y #C# podemos encontrar los vectores #vec (AB)# y #vec (AC)#:

#vec (AB) = (x_b - x_a)*hat i + (y_b - y_a)*hat j + (z_b - z_a)*hat k#
#vec (AC) = (x_c - x_a)*hat i + (y_c - y_a)*hat j + (z_c - z_a)*hat k#
dónde #hat i, hat j# y #hat k# son el vectores unitarios en los ejes cartesianos de coordenadas #Ox, Oy# y #Oz#.

Después de conectar los valores de las coordenadas, tenemos:
#vec (AB) = (-2 - 1)*hat i + (1-2)*hat j + (0-3)*hat k#
Así, #vec (AB) = -3 hat i - hat j -3 hat k#

#vec (AC) = (0-1)*hat i + (3-2)* hat j + (2-3)*hat k#.
Así, #vec (AC) = -hat i + hat j - hat k#

A continuación, encontraremos el vector normal del producto cruzado de #vec (AB)# y #vec (AC)#

#vec n = vec (AB)# x #vec (AC) = | (hat i,hat j,hat k),(-3,-1,-3),( -1,1,-1)|# #=# # 4 hat i - 4 hat k#

Por lo tanto, la ecuación del plano es #4x-4z+d=0#. Para encontrar #d#, podemos enchufar las coordenadas del punto #A#:
#d= 4z - 4x => d = 4*3 - 4*1 = 8#

Entonces, la ecuación cartesiana del avión es #4x-4z+8=0#.


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