¿Cómo encuentro la ecuación para una línea tangente sin derivadas?

Respuesta

Podrías usar infinitesimales ...

Explicación:

La pendiente de la línea tangente es la pendiente instantánea de la curva. Entonces, si aumentamos el valor del argumento de una función en una cantidad infinitesimal, entonces el cambio resultante en el valor de la función, dividido por el infinitesimal dará la pendiente (módulo que toma la parte estándar descartando cualquier infinitesimal restante).

Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la tangente a #f(x)# at #x=2#, dónde:

#f(x) = x^3-3x^2+x+5#

Dejar #epsilon > 0# ser un valor infinitesimal Luego:

#(f(2+epsilon) - f(2))/epsilon#

#=(((2+epsilon)^3-3(2+epsilon)^2+(2+epsilon)+5)-((2)^3-3(2)^2+(2)+5))/epsilon#

#=(((8+12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-3(4+4epsilon+epsilon^2)+(2+epsilon)+5)-(8-12+2+5))/epsilon#

#=((12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-(12epsilon+3epsilon^2)+epsilon)/epsilon#

#=(epsilon+3epsilon^2+epsilon^3)/epsilon#

#=1+3epsilon+epsilon^2#

de los cuales la parte estándar (es decir, finita) es #1# (descartando el #3epsilon+epsilon^2#).

Entonces la pendiente de la tangente es #1# y el punto tangente es:

#(2, f(2)) = (2, 3)#

Entonces la ecuación de la tangente se puede escribir:

#(y-3) = 1(x-2)#

o más simplemente:

#y = x+1#

gráfico {(y- (x ^ 3-3x ^ 2 + x + 5)) (yx-1) = 0 [-3.355, 6.645, 1.38, 6.38]}


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