¿Cómo factoriza # x ^ 2-2x + 2 #?

Respuesta

Estos factores cuadráticos solo con la ayuda de coeficientes complejos:

#x^2-2x+2 = (x-1-i)(x-1+i)#

Explicación:

Dado:

#x^2-2x+2#

Esto está en la forma #ax^2+bx+c# con #a=1#, #b=-2# y #c=2#

Tiene discriminante #Delta# dado por la fórmula:

#Delta = b^2-4ac = (color(blue)(-2))^2-4(color(blue)(1))(color(blue)(2)) = 4 - 8 = -4#

Desde que #Delta < 0#, esta cuadrática no tiene ceros reales ni factores lineales con coeficientes reales.

Todavía podemos factorizarlo, pero necesitamos usar coeficientes complejos.

La diferencia de identidad de cuadrados se puede escribir:

#A^2-B^2 = (A-B)(A+B)#

Para factorizar nuestra cuadrática, podemos completar el cuadrado y usar la diferencia de identidad de cuadrados con #A=(x-1)# y #B=i# como sigue:

#x^2-2x+2 = x^2-2x+1+1#

#color(white)(x^2-2x+2) = (x-1)^2+1#

#color(white)(x^2-2x+2) = (x-1)^2-i^2#

#color(white)(x^2-2x+2) = ((x-1)-i)((x-1)+i)#

#color(white)(x^2-2x+2) = (x-1-i)(x-1+i)#


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