¿Cómo integrar arc sin x dx?

Respuesta

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#

Explicación:

Procederemos utilizando integración por sustitución y integración por partes.

Sustitución:

Dejar #t = arcsin(x) => x = sin(t)# y #dx = cos(t)dt#

Luego, sustituyendo, tenemos

#intarcsin(x)dx = inttcos(t)dt#

Integración por partes:

Dejar #u = t# y #dv = cos(t)dt#

Entonces #du = dt# y #v = sin(t)#

Por la fórmula de integración por partes #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t)-intsint(t)dt#

#=tsint(t)-(-cos(t)+C)#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

#=arcsin(x)*sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))+C#

As #sin(arcsin(x)) = x# y #cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)#

(intente dibujar un triángulo rectángulo donde #sin(theta)=x# y calcular #cos(theta)# para obtener la segunda igualdad)

obtenemos nuestro resultado final:

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#


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