¿Cómo se convierte # r = 4tan (θ) sec (θ) # en forma cartesiana?

Respuesta

#y=x^2/4#

Explicación:

Solo para recordar los conceptos básicos de coordenadas polares:

Coordenadas polares

Sabido que #sec theta= 1/cos theta#, la expresión en coordenadas polares puede reescribirse así:
#r=4*tan theta(1/cos theta)#

Hacia la conversión sabemos que:
#r=sqrt(x^2+y^2)#
#theta=arc tan(y/x)#
Entonces #tan theta=tan (arc tan (y/x))=y/x#

Para completar la conversión solo necesitamos determinar #cos theta# en función de x e y:
#tan theta = y/x# => #sin theta/cos theta =y/x# => #sqrt (1-cos^2 theta)/cos theta =y/x# => #(1-cos^2 theta)/cos^2 theta=y^2/x^2# => #x^2-x^2*cos^2 theta = y^2*cos^2 theta# => #cos^2 theta*(x^2+y^2)=x^2# => #cos theta =x/sqrt(x^2+y^2)#

Sustituyendo #r#, #tan theta# y #cos theta#, mediante las funciones correspondientes en x e y, la expresión original se convierte en:
#sqrt(x^2+y^2)=4.(y/x)(1/(x/sqrt(x^2+y^2)))# => #cancel(sqrt(x^2+y^2))*(x/cancel(sqrt(x^2+y^2)))=4.(y/x)# => #x^2=4y#

Probar el resultado (o reconvertirlo a coordenadas polares):
#x^2=4y# => #(r*cos theta)^2=4*r*sin theta# => #r ^cancel(2)*cos^2 theta=4*cancel(r)*sin theta# => #r=4(sin theta/cos theta)(1/(cos theta))# [Esta expresión es equivalente a la expresión original. Por lo tanto, la expresión resultante (en x e y) es correcta.]


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