¿Cómo se prueba la serie #Sigma 1 / (n!) # De n es # [0, oo) # para convergencia?

Respuesta

Use la prueba de razón para mostrar la convergencia de la serie.

Explicación:

Utilizaremos la prueba de razón. La prueba de razón dice que para la serie #suma_n#, podemos determinar su convergencia tomando #L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)#. Examina el valor de #L#:

  • If #L>1#, entonces #suma_n# es divergente
  • If #L=1#, entonces la prueba no es concluyente.
  • If #L<1#, entonces #suma_n# es (absolutamente) convergente

Entonces para la serie #sum_(n=0)^oo1/(n!)# dejamos #a_n=1/(n!)#. Entonces vemos que

#L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))#

Esto requiere recordar un poco sobre factorial. La definición de estados factoriales que #(n+1)! =(n+1)(n!)#, Similar a cómo #7! = 7*6!#. Así:

#L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0#

Desde que #L=0# y por lo tanto #L<1#, vemos eso #suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)# es convergente a través de la prueba de razón.


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