¿Cómo se puede usar la división sintética para factorizar un polinomio?

Aquí hay un ejemplo razonable de Precálculo de división sintética para ilustrar el concepto

Digamos que tenías:

#2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8#

Como dijo Joan, hay un aspecto de prueba y error en esto.

Mira todos los coeficientes y piensa en qué factor común puede ser.

  • Si no obtiene un resto cero, entonces el factor realmente no funciona y debería intentarlo de nuevo.
  • Si todos los posibles factores están agotados, tal vez no sea factorizable.

Aquí, los factores que podría probar incluyen los que corresponden al coeficiente de cuarto orden (#2#) y el coeficiente de orden cero (#8#).

  • #8# tiene factores de #1, 2, 4# y #8#.
  • #2# tiene factores de #1# y #2#.

Entonces se podría decir que los posibles factores son #pmp/q#, Donde #p# consiste en los factores del coeficiente de grado cero, y #q# consiste en los factores del coeficiente de grado más alto.

Por lo tanto, puede tener factores de:

#pm[1, 2, 4, 8, 1/2]#

Entonces puedes probar todo esto (#2/2#, #4/2# y #8/2# son duplicados) Recordemos que si #-a# se usa como lo que está escrito en el proceso de división sintética en la esquina izquierda, corresponde a #x+a#.

Usaremos #-1# aquí. Tiendo a intentar #1# y #-1# primero, y sube de valor, y prueba las fracciones al final.

#ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#

Desplegar el #2#y multiplicar por #-1# para obtener #-2#.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2#

Añadir #-3# y #-2#, luego multiplique la resultante #-5# by #-1# de nuevo.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5#

Repite hasta que hayas terminado.

Añadir #-3# y #-2#, luego multiplique la resultante #-1# by #-1# de nuevo.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5#

Su respuesta aquí es esta, donde 2 corresponde a #2x^3#, ya que dividió un polinomio de cuarto orden por un polinomio de primer orden.

Entonces, una forma de expresar el resultado es:

#(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)#

#= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")#

where the #5/(x+1)# was written by saying that the last value below the horizontal bar (below #-2, 5, 0, -3#), being #5#, is divided by the #x pm a# equation such that #x pm a = 0#. So, #x+1# indicates that the factor we have just used is #-1#.

(Naturalmente, si el resto es #0#, no tiene la fracción restante al final).


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