¿Cómo simplificas la raíz cuadrada de 95?

Respuesta

#sqrt(95) ~~ 18495361/1897584 ~~ 9.746794344809#

ya está en forma más simple.

Explicación:

La factorización prima de #95# es:

#95 = 5 * 19#

Como esto no contiene factores cuadrados, #sqrt(95)# ya está en forma más simple. No hay factores que puedan moverse fuera del radical.

Como fracción continua, encontramos:

#sqrt(95) = [9;bar(1,2,1,18)] = 9+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+...))))))))#

Por lo tanto, una aproximación racional eficiente para #sqrt(95)# es:

#[9;1,2,1] = 9+1/(1+1/(2+1/1)) = 39/4#

Para una forma divertida de encontrar mejores aproximaciones a #sqrt(95)#, considere la cuadrática con ceros #39+4sqrt(95)# y #39-4sqrt(95)#:

#(x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95)) = (x-39)^2-1520#

#color(white)((x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95))) = x^2-78x+1#

En base a esto, defina una secuencia recursivamente por:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 78a_(n+1)-a_n) :}#

Los primeros términos de esta secuencia son:

#0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805#

La relación entre términos sucesivos convergerá rápidamente a #39+4sqrt(95)#.

Por lo tanto, encontramos:

#sqrt(95) ~~ 1/4(36996805/474396 - 39) = 1/4(18495361/474396) = 18495361/1897584#

#color(white)(sqrt(95)) ~~ 9.746794344809#

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