¿Cómo utiliza la parte I del teorema fundamental del cálculo para encontrar la derivada de #h (x) = int (cos (t ^ 4) + t) dt # de -4 a sinx? ¿Alguien puede guiarme a través de esto? Tengo muchos problemas para entender cómo hacerlo.

Respuesta

La respuesta es #h'(x)=(cos(sin^{4}(x))+sin(x))*cos(x)#.

Explicación:

Si define una función #g# por la fórmula #g(x)=int_{-4}^{x} (cos(t^{4})+t) dt#, entonces El teorema fundamental del cálculo dice que su derivada es #g'(x)=cos(x^{4})+x# (deshacerse del signo integral y el #dt#y reemplazar el #t# en el integrando con #x#El ... #-4# en el límite inferior de la integral es irrelevante (podría ser cualquier número y la respuesta sería la misma), pero el #x# en el límite superior de la integral es esencial)

Ahora note que #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt=g(sin(x))# (#h# es una composición de #g# con la función seno).

Ahora puede aplicar el Cadena de reglas para decir eso

#h'(x)=g'(sin(x)) * d/dx(sin(x))#

#=(cos(sin^{4}(x))+sin(x))*cos(x)#

¿Esto es útil?

Quizás todavía hay confusión sobre qué #g# y #h# son. En otras palabras, ¿tienen "fórmulas ordinarias" que no impliquen signos integrales. La respuesta, en este caso, es "no". La integral #int cos(t^4) dt# no puede evaluarse en términos de "funciones elementales" (funciones a las que está "acostumbrado").

El símbolo integral definido #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt# ciertamente desafía una función porque el integrando es continuo. Para cualquier #x#, siempre puedes aproximar el valor de #h(x)# por integración numérica (como la regla de Simpson).


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