¿Cómo utiliza las identidades trigonométricas fundamentales para determinar la forma simplificada de la expresión?

"Las identidades trigonométricas fundamentales" son las identidades básicas:

• Las identidades recíprocas.
• Las identidades pitagóricas.
• Las identidades del cociente

Todos se muestran en la siguiente imagen:

https://academics.utep.edu/Portals/1788/CALCULUS%20MATERIAL/5_1%20USING%20OF%20FUNDAMENTALS%20IDENTITIES.pdf

Cuando se trata de simplificar con estas identidades, debemos usar combinaciones de estas identidades para reducir una expresión mucho más compleja a su forma más simple.

Aquí hay algunos ejemplos que he preparado:

a) Simplificar: # tanx/cscx xx secx#

Aplicar la identidad del cociente #tantheta = sintheta/costheta# y las identidades recíprocas #csctheta = 1/sintheta# y #sectheta = 1/costheta#.

#=(sinx/cosx)/(1/sinx) xx 1/cosx#

#=sinx/cosx xx sinx/1 xx 1/cosx#

#=sin^2x/cos^2x#

Vuelva a aplicar la identidad del cociente, en forma inversa:

#=tan^2x#

b) Simplificar: #(cscbeta - sin beta)/cscbeta#

Aplicar la identidad recíproca #cscbeta = 1/sinbeta#:

#=(1/sinbeta - sin beta)/(1/sinbeta)#

Ponga el denominador en un denominador común:

#=(1/sinbeta - sin^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

Reorganizar la identidad pitagórica #cos^2theta + sin^2theta = 1#, resolviendo para #cos^2theta#:

#cos^2theta = 1 - sin^2theta#

#=(cos^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

#=cos^2beta/sinbeta xx sin beta/1#

#=cos^2beta#

c) Simplificar: #sinx/cosx + cosx/(1 + sinx)#:

Una vez más, pon un denominador común:

#=(sinx(1 + sinx))/(cosx(1 + sinx)) + (cosx(cosx))/(cosx(1 + sinx))#

Multiplicar:

#=(sinx + sin^2x + cos^2x)/(cosx(1 + sinx))#

Aplicando la identidad pitagórica #cos^2x + sin^2x = 1#:

#=(sinx + 1)/(cosx(1 + sinx))#

Cancelar el #sinx + 1# ya que aparece tanto en el numerador como en el denominador.

#=cancel(sinx + 1)/(cosx(cancel(sinx + 1))#

#=1/cosx#

Aplicando la identidad recíproca #1/costheta = sectheta#

#=secx#

Finalmente, en una última nota, sé que aquí en Canadá, Columbia Británica, más específicamente, estas identidades se dan en una hoja de fórmulas, pero no sé cómo es en otros lugares. En cualquier caso, muchos estudiantes, incluido yo, memorizamos estas identidades porque son tan importantes para las matemáticas. Recomiendo encarecidamente la memorización.

Ejercicios de práctica:

Simplifica las siguientes expresiones:

a) #cosalpha + tan alphasinalpha#

b) #cscx/sinx - cotx/tanx#

c) #sin^4theta - cos^4theta#

d) #(tan beta + cot beta)/csc^2beta#

Esperemos que esto ayude, ¡y buena suerte!


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