¿Cuál es el límite cuando x se acerca al infinito de # e ^ x #?

Respuesta

Otra perspectiva ...

Explicación:

#color(white)()#
Como una función real

El tratamiento de #e^x# en función de los valores reales de #x#, tiene las siguientes propiedades:

  • El dominio de #e^x# es todo #RR#.

  • El rango de #e^x# is #(0, oo)#.

  • #e^x# es continua en el conjunto de #RR# e infinitamente diferenciable, con #d/(dx) e^x = e^x#.

  • #e^x# es uno a uno, por lo que tiene una función inversa bien definida (#ln x#) de #(0, oo)# sobre #RR#.

  • #lim_(x->+oo) e^x = +oo#

  • #lim_(x->-oo) e^x = 0#

A primera vista, esto responde a la pregunta, pero ¿qué pasa con los valores complejos de #x#?

#color(white)()#
Como una función compleja

Tratado en función de los valores complejos de #x#, #e^x# tiene las propiedades:

  • El dominio de #e^x# es todo #CC#.

  • El rango de #e^x# is #CC "" { 0 }#.

  • #e^x# es continua en el conjunto de #CC# e infinitamente diferenciable, con #d/(dx) e^x = e^x#.

  • #e^x# es muchos a uno, por lo que no tiene función inversa. La definición de #ln x# se puede extender a una función desde #CC "" { 0 }# dentro #CC#, típicamente en #{ x + iy : x in RR, y in (- pi, pi] }#.

¿Qué queremos decir con el límite de #e^x# as #x -> "infinity"# ¿en este contexto?

Desde el origen, podemos dirigirnos hacia el "infinito" en todo tipo de formas.

Por ejemplo, si solo partimos a lo largo del eje imaginario, el valor de #e^x# simplemente da vueltas y vueltas alrededor del círculo de la unidad.

Si elegimos cualquier número complejo #c = r(cos theta + i sin theta)#, luego siguiendo la línea #ln r + it# para un #t in RR# as #t->+oo#, El valor de #e^(ln r + it)# tomará el valor #c# infinitamente muchas veces.

Podemos proyectar el plano complejo en una esfera llamada esfera de Riemann #CC_oo#, con un punto adicional llamado #oo#. Esto nos permite imaginar el "vecindario de #oo#"y pensar en el comportamiento de la función #e^x# allí.

De nuestras observaciones anteriores, #e^x# toma cada valor complejo distinto de cero infinitas veces en cualquier vecindario arbitrariamente pequeño de #oo#. Eso se llama un singularidad esencial en el infinito.


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