¿Cuál es la derivada de # 2 ^ x #?

Respuesta

#d/dx (2^x) = 2^x * ln2#

Explicación:

Para poder calcular la derivada de #2^x#, vas a necesitar usar dos cosas

La idea aquí es que puedes usar el hecho de que sabes cuál es la derivada de #e^x# es tratar de determinar cuál es la derivada de otra constante elevado al poder de #x#, en este caso igual a #2#, es.

Para hacer eso, necesitas escribir #2# como una número exponencial que tiene la base igual a #e#.

Usa el hecho de que

#color(blue)(e^(ln(a)) = a)#

para escribir

#e^(ln2) = 2#

Esto implica que #2^x# será equivalente a

#2^x = (e^(ln2))^x = e^(x * ln2)#

Su derivado ahora se ve así

#d/dx(e^(x * ln2))#

Aquí es donde entra en juego la regla de la cadena. Sabes que la derivada de una función #y = f(u)# Se puede escribir como

#dy/dx = dy/(du) * (du)/dx#

En tu caso, #y = e^(x * ln2)# y #u = x * ln2#, para que su derivada se convierta

#d/dx(e^u) = underbrace(e^u/(du))_(color(blue)(=e^u)) * d/dx(u)#

#d/dx(e^u) = e^u * d/dx(u)#

Ahora reemplace #u# para calcular #d/dx(u)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * d/dx(x * ln2)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2 d/dx(x)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2#

Por lo tanto,

#d/dx(2^x) = color(green)(2^x * ln 2)#


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