¿Cuál es la derivada de # x ^ (lnx) #?

Respuesta

La derivada de #x^(lnx)# is #[(2*y*(lnx)*(x^(lnx)))/x] #

Explicación:

dejar #y =x^(lnx)#
No hay reglas que podamos aplicar para diferenciar fácilmente esta ecuación, por lo que solo tenemos que meternos con ella hasta encontrar una respuesta.

Si tomamos el logaritmo natural de ambos lados, estamos cambiando la ecuación. Podemos hacer esto siempre y cuando tengamos en cuenta que esta será una ecuación completamente nueva:
#lny=ln(x^(lnx))#
#lny=(lnx)(lnx)#
Diferenciar ambos lados:
#((dy)/(dx))*(1/y)=(lnx)(1/x)+(1/x)(lnx)#
#((dy)/(dx))=(2*y*lnx)/x#

Bien, ahora hemos terminado de jugar con esa ecuación. Volvamos al problema original:
#y =x^(lnx)#

Podemos reescribir esto como #y=e^[ln(x^(lnx))]# porque e para el poder de un registro natural de algún número es ese mismo número.
#y=e^[ln(x^(lnx))]#

Ahora, diferenciemos esto usando la regla del exponente:
#(dy)/(dx) = d/dx[ln(x^(lnx))] * [e^[ln(x^(lnx))]]#

Convenientemente, ya encontramos el primer término anterior, por lo que podemos simplificarlo fácilmente.
#(dy)/(dx) = [(2*y*lnx)/x] * [x^(lnx)]#
#(dy)/(dx)=(2*y*(lnx)*(x^(lnx)))/x#


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