¿Cuál es la diferencia entre diferenciación implícita y explícita?

Respuesta

Es una diferencia en cómo se presenta la función antes de diferenciar (o cómo se presentan las funciones).

Explicación:

#y = -3/5x+7/5# da #y# explícitamente en función de #x#.

#3x+5y=7# da exactamente la misma relación entre #x# y #y#, pero la función está implícita (oculta) en la ecuación. Para hacer explícita la función, resolvemos para #x#

In #x^2+y^2=25#, #y# no es una función de #x#. Sin embargo, hay dos funciones implícitas en la ecuación. Podemos hacer explícitas las funciones resolviendo #y#.

#y = +- sqrt(25-x^2)# es equivalente a la ecuación anterior y tiene funciones 2 que no son demasiado difíciles de hacer explícitas:

#y=sqrt(25-x^2)# da #y# como una función de #x# y

#y=-sqrt(25-x^2)# da #y# como una función diferente de #x#.

Podemos diferenciar las presentaciones implícitas o explícitas.

Diferenciando implícitamente (dejando las funciones implícitas) obtenemos

#2x+2y dy/dx = 0# #" "# so #" "# #dy/dx = -x/y#

El #y# en la fórmula para la derivada es el precio que pagamos por no hacer explícita la función. Reemplaza la forma explícita de la función, sea lo que sea.

Para la #y=sqrt(25-x^2)#, obtenemos #dy/dx = - x/sqrt(25-x^2)# (use la regla de poder y cadena), y

para un #y= - sqrt(25-x^2)#, obtenemos #dy/dx = x/sqrt(25-x^2)#.

La ecuacion #y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 # no se puede resolver algebraicamente para #y#, (o de todos modos, algunas ecuaciones de 5th degree no se pueden resolver) pero hay varias funciones de #x# implícito en la ecuación. Puede verlos en el gráfico de la ecuación (que se muestra a continuación).

graph{y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 [-7.14, 6.91, -4.66, 2.36]}

Podemos cortar el gráfico en pedazos, cada uno de los cuales es el gráfico de alguna función de #x# en algún dominio

Diferenciación implícita permítanos encontrar las derivadas de #y# con respecto a #x# sin haciendo explícitas las funciones. Al hacer eso, podemos encontrar la pendiente de la línea tangente a la gráfica en el punto #(1,2)#.


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