¿Cuál es la diferencia entre 'máximo relativo (o mínimo)' y 'máximo absoluto (o mínimo)' en las funciones?

Se produce un máximo o mínimo relativo en los puntos de inflexión en la curva donde, como mínimo absoluto y máximo, son los valores apropiados sobre todo el dominio de la función.

En otras palabras, el mínimo y el máximo absolutos están delimitados por el dominio de la función.

Ejemplo:

Considere la función:

# y=x^4-8x^3+22x^2-24x #

Podemos encontrar los mínimos y máximos relativos (puntos de inflexión) al buscar coordenadas donde desaparece la primera derivada:

# dy/dx = 4x^3 -24x^2+44x-24 #

La derivada se desvanece cuando #dy/dx=0#es decir cuando

# 4x^3 -24x^2+44x-24 = 0 #
# => x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 #
# => (x-1)(x-2)(x-3) = 0 #
# => x=1,2,3 #

Y para determinar la naturaleza de los puntos de inflexión, consideramos la segunda derivada:

# (d^2y)/(dx^2) = 12x^2 -48x+44 #
# (1,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#
# (2,-8) => (d^2y)/(dx^2) lt 0 => max#
# (3,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#

Y podemos trazar el gráfico para verificar nuestros hallazgos
graph{y=x^4-8x^3+22x^2-24x [-3, 6, -11, 5]}

Entonces tenemos:

  • Mínimo relativo de #-9# ocurriendo en #x=1,3#
  • Máximo relativo de #-8# ocurriendo en #x=2#

Sobre todo el dominio a medida que nos acercamos #x=+-oo# la función aumenta sin límite. Después:

  • El mínimo absoluto es también el mínimo local, es decir #-9#
  • El máximo absoluto es ilimitado, es decir #oo#


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