¿Cuál es la raíz cuadrada de -49?

Respuesta

#sqrt(-49) = 7i#

Explicación:

Una raíz cuadrada de un número #n# es un numero #x# tal que #x^2 = n#

Tenga en cuenta que si #x# es un número real entonces #x^2 >= 0#.

Entonces, cualquier raíz cuadrada de #-49# No es un número real.

Para poder tomar raíces cuadradas de números negativos, necesitamos números complejos.

Ahí es donde el número misterioso #i# entra en juego. Esto se llama la unidad imaginaria y tiene la propiedad:

#i^2 = -1#

So #i# es una raíz cuadrada de #-1#. Tenga en cuenta que #-i# también es una raíz cuadrada de #-1#, ya que:

#(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1#

Entonces encontramos:

#(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49#

So #7i# es una raíz cuadrada de #-49#. Tenga en cuenta que #-7i# también es una raíz cuadrada de #-49#.

¿Qué queremos decir con la raíz cuadrada de #-49#

Para valores positivos de #n#, la la raíz cuadrada generalmente se toma como la raíz cuadrada principal #sqrt(n)#, que es el positivo.

Para valores negativos de #n#, las raíces cuadradas son ambos múltiplos de #i#, por lo tanto, ni positivo ni negativo, pero podemos definir:

#sqrt(n) = i sqrt(-n)#

Con esta definición, la raíz cuadrada principal de #-49# es:

#sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i#

#color(white)()#
Nota

La pregunta sigue siendo: ¿dónde #i# ?

Es posible definir números complejos formalmente, como pares de números reales con reglas para la aritmética como esta:

#(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)#

#(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)#

Estas reglas para sumar y multiplicar trabajar como se esperaba con conmutatividad, distributividad, etc.

Entonces los números reales son solo números complejos de la forma #(a, 0)# y encontramos:

#(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)#

Es decir #(0, 1)# es una raíz cuadrada de #(-1, 0)#

Entonces podemos definir #i = (0, 1)# y:

#(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi#


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