¿Cuáles son algunos ejemplos de funciones no diferenciables?

Hay tres formas en que una función puede ser no diferenciable. Veremos todos los casos de 3.

Caso 1
Una función en no diferenciable donde es discontinua.

Ejemplo (1a) f#(x)=cotx# no es diferenciable en #x=n pi# para todos los enteros #n#.

gráfico {y = cotx [-10, 10, -5, 5]}

Ejemplo (1b) #f(x)= (x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) # no es diferenciable en #0# y en #3# y en #-1#
Tenga en cuenta que #f(x)=(x(x-3)^2)/(x(x-3)(x+1))#
Desafortunadamente, la utilidad de gráficos no muestra los agujeros en #(0, -3)# y #(3,0)#

graph{(x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) [-10, 10, -5, 5]}

Ejemplo 1c) Definir #f(x)# para ser #0# if #x# es un número racional y #1# if #x# es irracional La función no es diferenciable en absoluto #x#.

Descripción del ejemplo 1d): las funciones definidas por partes pueden tener inconvenientes.

Caso 2
Una función no es diferenciable cuando tiene una "cúspide" o un "punto de esquina".
Esto ocurre en #a# if #f'(x)# está definido para todos #x# cerca #a# (todos #x# en un intervalo abierto que contiene #a#) excepto en #a#, pero #lim_(xrarra^-)f'(x) != lim_(xrarra^+)f'(x)#. (Ya sea porque existen pero son desiguales o porque uno o ambos no existen).

Ejemplo 2a) #f(x)=abs(x-2)# No es diferenciable en #2#.
(Esta función también se puede escribir: #f(x)=sqrt(x^2-4x+4))#

gráfico {abs (x-2) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Ejemplo 2b) #f(x)=x+root(3)(x^2-2x+1)# No es diferenciable en #1#.

gráfico {x + raíz (3) (x ^ 2-2x + 1) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Caso 3

Una función no es diferenciable en #a# si tiene una línea tangente vertical en #a#.
#f# tiene una línea tangente vertical en #a# if #f# es continuo en #a# y

#lim_(xrarra)abs(f'(x))=oo#

Ejemplo 3a) #f(x)= 2+root(3)(x-3)# tiene una línea tangente vertical en #1#. Y por lo tanto no es diferenciable en #1#.

gráfico {2 + (x-1) ^ (1 / 3) [-2.44, 4.487, -0.353, 3.11]}

Ejemplo 3b) Para algunas funciones, solo consideramos límites unilaterales: #f(x)=sqrt(4-x^2)# tiene una línea tangente vertical en #-2# y en #2#.

#lim_(xrarr2)abs(f'(x))# No existe, pero

#lim_(xrarr2^-)abs(f'(x))=oo#

gráfico {sqrt (4-x ^ 2) [-3.58, 4.213, -1.303, 2.592]}

Ejemplo 3c) #f(x)=root(3)(x^2)# tiene una cúspide y una línea tangente vertical en #0#.

gráfico {x ^ (2 / 3) [-8.18, 7.616, -2.776, 5.126]}

Aquí hay un enlace que puede ser útil:
http://socratic.org/calculus/derivatives/differentiable-vs-non-differentiable-functions


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