Dado un perímetro de 180, ¿cómo encuentras la longitud y el ancho del rectángulo de área máxima?

Respuesta

Dado un perímetro de 180, la longitud y el ancho del rectángulo con área máxima son 45 y 45.

Explicación:

Dejar #x=# la longitud y #y=# El ancho del rectángulo.
El área del rectángulo. #A =xy#

#2x+2y=180# porque el perímetro es #180#.

Resolver #y#
#2y=180-2x#
#y=90-x#

Substituto para #y# en la ecuación del área
#A=x(90-x)#
#A=90x-x^2#

Esta ecuación representa una parábola que se abre hacia abajo. El valor máximo del área está en el vértice.

Reescribiendo la ecuación del área en la forma #ax^2+bx+c#
#A=-x^2+90xcolor(white)(aaa)a=-1, b=90, c=0#

La fórmula para el #x# coordenada del vértice es
#x=(-b)/(2a)= (-90)/(2*-1)=45#

El área máxima se encuentra en #x=45#
y #y=90-x=90-45=45#

Dado un perímetro de 180, las dimensiones del rectángulo con área máxima son 45x45.


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