¿Encuentra los valores de # x # para los cuales la siguiente serie es convergente?

Respuesta

#1<x<2#

Explicación:

Cuando se trata de determinar el radio y / o el intervalo de convergencia de series de potencia como estas, es mejor usar la Prueba de relación, que nos indica para una serie #suma_n#, dejamos

#L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|#.

If #L<1# la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto convergente)

If #L>1#, la serie diverge.

If #L=1,# La prueba de relación no es concluyente.

Para Power Series, sin embargo, son posibles tres casos

a. La serie de potencia converge para todos los números reales; su intervalo de convergencia es #(-oo, oo)#
si. La serie de potencia converge para algún número #x=a;# su radio de convergencia es cero.
do. El caso más frecuente, la serie de potencia converge para #|x-a|<R# con un intervalo de convergencia de #a-R<x<a+R# donde debemos probar los puntos finales para ver qué pasa con ellos.

Entonces aquí

#a_n=(2x-3)^n#

#a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n#

Entonces, aplique la Prueba de relación:

#lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|#

#|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|#

Por lo tanto, si #|2x-3|<1#, la serie converge. Pero necesitamos esto en la forma #|x-a|<R:#

#|2(x-3/2)|<1#

#2|x-3/2|<1#

#|x-3/2|<1/2# resulta en convergencia. El radio de convergencia es #R=1/2.#

Ahora, determinemos el intervalo:

#-1/2<x-3/2<1/2#

#-1/2+3/2<x<1/2+3/2#

#1<x<2#

Necesitamos enchufar #x=1, x=2# en la serie original para ver si tenemos convergencia o divergencia en estos puntos finales.

#x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n# diverge, el summand no tiene límite y ciertamente no llega a cero, solo alterna signos.

#x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1# diverge también por la prueba de divergencia, #lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0#

Por lo tanto, la serie converge para #1<x<2#


Deja un comentario