Encuentre la dimensión del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un círculo de radio r?

El rectángulo será un cuadrado de longitud lateral. #1/sqrt(2)r#

Explicación:

Dibujemos un diagrama:

https://sites.google.com/site/mymathclassroom/algebra/minimum-and-maximum/the-largest-rectangle-that-can-be-inscribed-in-a-circle-an-algebraic-solution

Como puede ver en el diagrama, por Pitágoras, #x^2 + y^2 = r^2#o #y^2 = r^2 - x^2 -> y = sqrt(r^2 - x^2)#

El área será #A = 2x(2y) = 2x(2sqrt(r^2 - x^2)) = 4xsqrt(r^2 - x^2)#

Si tomamos la derivada de esto con respecto a #x# obtenemos

#A' = 4sqrt(r^2- x^2) + (4x(-2x))/(2sqrt(r^2 - x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (8x^2)/(2sqrt(r^2 -x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4(r^2 - x^2) - 4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4r^2 - 8x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

Esto tendrá números críticos cuando

#0 = 4r^2 - 8x^2#

#8x^2 = 4r^2#

#x^2 = 1/2r^2#

#x = 1/sqrt(2)r#

El valor de #y# será dado por #y = sqrt(r^2 - (1/sqrt(2)r)^2) =sqrt(1/2r^2) = 1/sqrt(2)r#

Por lo tanto, la forma será un cuadrado de dimensiones. #1/sqrt(2)r# by #1/sqrt(2)r#, dando un área máxima de #1/2r^2#

¡Espero que esto ayude!


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