¿Qué es una representación de serie de potencia para #f (x) = ln (1 + x) # y cuál es su radio de convergencia?

Respuesta

#ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)#

con radio de convergencia #R=1#.

Explicación:

Comience desde la suma de series geométricas:

#sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)#

convergiendo para #abs q < 1#.

Dejar # x = -q # tener:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)#

Dentro del intervalo de convergencia #x in (-1,1)# podemos integrar la serie término por término:

#int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt#

y obtener una serie con el mismo radio de convergencia #R=1#:

#ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)#


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