Se escapa agua de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000cm ^ 3 / min cm / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante. El tanque tiene una altura de 6m y el diámetro en la parte superior es 4m. Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es 2m, ¿cómo puedo encontrar la velocidad a la que se bombea agua al tanque?

(ver abajo para el método de solución)

Explicación:

Comience por ignorar la fuga y determine la velocidad de entrada requerida para lograr la velocidad especificada de altura (profundidad) de aumento de agua.

Más tarde usaremos el hecho de que
Tasa de entrada real
= Tasa de entrada para mayor profundidad + tasa de fuga

ingrese la fuente de la imagen aquí

Para el cono dado, la relación de r adio a h ocho es #1/3#

so
#r = 1/3 h#

La fórmula para el volumen de un cono:
#V = (pi r^2 h)/3# se convierte en #V = (pi h^3)/(27)#

#(d V)/(dh) = (pi h^2)/9#

Estamos interesados ​​en el cambio de volumen con respecto al tiempo y tenga en cuenta que
#(d V)/(dt) = (d V)/(dh) * (d h)/(dt)#

Usando el valor que ya hemos calculado para #(d V)/(dh)# y el valor suministrado de #20# cm / min (a una altura de #h=200# cm)
obtenemos:

#(d V)/(dt) = (pi (200 cm)^2 * (20 cm))/(9 min)#
#= (800000 pi)/9# #cm^3#/ Min
o más o menos
#279,252.7# #cm^3#/ Min

Esta es la tasa de entrada requerida para causar un aumento de altura y
ignora la tasa de fuga

La tasa de flujo de entrada real debe ser la suma de estos dos:
#279,252.7# #cm^3#/ Min #+ 10,000# #cm^3#/ Min
#= 289,252.7# #cm^3#/ Min


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