Una escalera 10 ft de largo descansa contra una pared vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza lejos de la pared a una velocidad de 0.8 pies / s, ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando la parte inferior de la escalera está a 8 pies de la pared?

Respuesta

#- 2/15# radianes por segundo

Explicación:

Denotando la distancia en pies entre la pared y la base de la escalera por #x# y el ángulo en radianes entre la escalera y el suelo por #y#, se observa

#cos(y) = x / 10#

lo que implica

#y = arccos(x/10)#

Denotando el tiempo en segundos por t, se observa además que

#dy / dt = dy/dx dx/dt# (cadena de reglas)

Nota (usando la tabla estándar de derivados por conveniencia)

#dy/dx = - 1 / (sqrt(1 - (0.1 x)^2)) (0.1)# (también por regla de cadena)

es decir

#dy/dx = - 0.1/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

De la pregunta se observa que en este sistema en particular

#dx/dt = 0.8# pies por segundo

Entonces (denotando la derivada en función de #x#)

#dy/dt (x) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

So

#dy/dt (8) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 (64)))#

#= - 0.08/(sqrt(1 - 0.64)) = - 0.08/(sqrt(0.36))#

#- 0.08/0.6 = - 8/60 = - 2/15# radianes por segundo


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